Vocabulaire de départ
Notations utilisées
n— effectif : nombre d'individus mesurés (ici, de carapaces).xᵢ— la i-ème valeur de la variable (la taille du i-ème individu).Σ(sigma) — symbole de la somme :Σ xᵢ= « on additionne toutes les valeurs ».x̄(« x barre ») — la moyenne.
Le mini-jeu de travail. Pour que tout soit vérifiable, on utilise 7 tailles (mm), classées :
61 · 98 · 118 · 125 · 136 · 142 · 158. Sur le vrai jeu de Beauchêne (n = 37), la démarche est identique, seul le tableur change d'échelle.
Position — « où est le centre ? »
Moyenne, médiane, mode
Moyenne (x̄) — la somme des valeurs divisée par leur nombre. C'est le « centre de masse » : elle tient compte de la valeur de chaque individu, donc elle est sensible aux extrêmes.
x̄ = ( Σ xᵢ ) / n
Somme : 61 + 98 + 118 + 125 + 136 + 142 + 158 = 838
Moyenne : 838 / 7 = 119,7 mm
Médiane — la valeur qui coupe l'échantillon ordonné en deux moitiés égales. Elle ne dépend que du rang central, pas de la valeur des extrêmes : elle est robuste.
7 valeurs ordonnées → la médiane est la 4ᵉ : 61 · 98 · 118 · 125 · 136 · 142 · 158
Médiane = 125 mm
Astuce : si n est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Mode — la valeur (ou la classe) la plus fréquente. Sur des mesures continues, on parle plutôt de classe modale (la barre la plus haute de l'histogramme).
Le signal qui compte. Ici moyenne (119,7) < médiane (125). Quand la moyenne est inférieure à la médiane, la distribution est étalée vers les petites valeurs : quelques petits individus tirent la moyenne vers le bas. C'est exactement la lecture faite dans la leçon 2 sur le peuplement complet.
Dispersion — « comment ça s'étale ? »
Étendue, quartiles, écart interquartile
Étendue — la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Simple, mais entièrement déterminée par les deux extrêmes.
Étendue = max − min = 158 − 61 = 97 mm
Quartiles (Q1, Q2, Q3) — ils découpent l'échantillon ordonné en quatre quarts. Q2 est la médiane. Q1 = valeur sous laquelle se trouvent 25 % des individus ; Q3 = 75 %.
Moitié basse (avant la médiane) : 61 · 98 · 118 → sa médiane est 98 → Q1 = 98 mm
Moitié haute (après la médiane) : 136 · 142 · 158 → sa médiane est 142 → Q3 = 142 mm
Selon la convention de calcul (tableurs, R), Q1/Q3 peuvent varier de quelques unités. L'important est d'utiliser la même méthode dans tout le dossier.
Écart interquartile (EIQ ou IQR) — l'étendue des 50 % centraux : Q3 − Q1. C'est une dispersion robuste, car elle ignore les 25 % extrêmes de chaque côté. C'est la largeur de la « boîte » du boxplot.
EIQ = Q3 − Q1 = 142 − 98 = 44 mm
Dispersion — mesure fine
Variance et écart-type
Variance (s²) — la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. On élève au carré pour que les écarts négatifs et positifs ne s'annulent pas.
Écart-type (s) — la racine carrée de la variance. Il revient dans l'unité des données (des mm), ce qui le rend lisible : c'est « l'écart typique » d'un individu à la moyenne.
s² = ( Σ (xᵢ − x̄)² ) / (n − 1) ; s = √(s²)
Diviseur (n − 1) : écart-type d'échantillon (fonction ECARTYPE.STANDARD du tableur), le cas courant quand on estime une population à partir d'un échantillon. Diviser par n donne l'écart-type de population (ECARTYPE.PEARSON).
Écarts à la moyenne (x̄ = 119,7) puis carrés :
| xᵢ | xᵢ − x̄ | (xᵢ − x̄)² |
|---|---|---|
| 61 | −58,7 | 3447 |
| 98 | −21,7 | 471 |
| 118 | −1,7 | 3 |
| 125 | 5,3 | 28 |
| 136 | 16,3 | 265 |
| 142 | 22,3 | 497 |
| 158 | 38,3 | 1466 |
| Σ | 6177 |
Variance d'échantillon : s² = 6177 / (7 − 1) = 6177 / 6 = 1030 mm²
Écart-type : s = √1030 = 32,1 mm
Interprétation : un individu s'écarte « typiquement » d'environ 32 mm de la moyenne. Sur une taille moyenne de 120 mm, c'est une forte variabilité — cohérent avec un mélange de classes d'âge.
Position seule = information incomplète. Deux peuplements peuvent avoir la même moyenne (120 mm) avec des écarts-types très différents (5 mm vs 32 mm) : l'un très homogène, l'autre très étalé. C'est pourquoi la leçon impose de toujours associer une position à une dispersion.
Lecture graphique
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Comment lire un boxplot (boîte à moustaches)
- Le trait dans la boîte = la médiane (Q2).
- Les bords de la boîte = Q1 (gauche) et Q3 (droite) ; la boîte contient donc les 50 % centraux, et sa largeur est l'écart interquartile.
- Les moustaches = s'étirent jusqu'au minimum et au maximum (hors valeurs atypiques éventuelles).
- Médiane décentrée dans la boîte = distribution asymétrique. Médiane proche de Q1 (à gauche) → étalement vers les grandes valeurs ; proche de Q3 (à droite) → étalement vers les petites valeurs.
Sur le peuplement Cistude (leçon 2). La médiane (125) est proche de Q3 (139) et loin de Q1 (99) : la moustache gauche est longue → étalement vers les petites tailles → présence de juvéniles. Un seul graphique restitue position, dispersion et forme.