Dépendance linéaire
Coefficient de corrélation (r)
r mesure la force et le sens d'un lien linéaire entre deux variables quantitatives. Il varie de −1 à +1.
−1
lien négatif parfait
lien négatif parfait
−0,5
0
aucun lien linéaire
aucun lien linéaire
+0,5
+1
lien positif parfait
lien positif parfait
r > 0: les deux grandeurs augmentent ensemble.r < 0: quand l'une augmente, l'autre diminue.r ≈ 0: pas de lien linéaire (mais un lien courbe reste possible — d'où l'importance de tracer le nuage).
Deux pièges majeurs. (1) r fort ≠ causalité : un facteur tiers peut piloter les deux variables. (2) r proche de 0 ne veut pas dire « aucune relation » : une relation en cloche donne r ≈ 0 alors que le lien est fort. Toujours regarder le nuage de points avant d'interpréter r.
Prédiction / tendance
Régression linéaire (droite des moindres carrés)
La régression ajuste la droite
y = a·x + b qui passe « au plus près » de tous les points (elle minimise la somme des carrés des écarts verticaux). Utile pour estimer une tendance, par exemple la dynamique d'une population dans le temps.
y = a·x + b
a = pente (fonction PENTE) : de combien y varie quand x augmente d'une unité. b = ordonnée à l'origine (ORDONNEE.ORIGINE) : valeur de y quand x = 0.
Coefficient de détermination R². C'est r au carré : il indique la part de la variabilité de y « expliquée » par x. R² = 0,85 → 85 % de la variation de y est associée à x ; les 15 % restants relèvent d'autres facteurs ou du hasard.
Ne jamais extrapoler. Une droite ajustée sur des x de 4 à 9 n'est pas valable en x = 12 : au-delà de la plage observée, rien ne garantit que la relation se prolonge.
Comparer deux groupes
Test de Student et logique de la p-value
Le test de Student répond à : « l'écart observé entre deux moyennes est-il trop grand pour être dû au seul hasard d'échantillonnage ? » Il compare l'écart des moyennes à la variabilité interne des groupes, en tenant compte des effectifs.
Hypothèse nulle H₀ : les deux moyennes sont égales
Le test calcule la probabilité (p-value) d'observer un écart au moins aussi grand que le vôtre SI H₀ était vraie.
Lecture de la p-value (seuil usuel : 0,05) :
p < 0,05 → l'écart est peu probable sous H₀ → on rejette H₀ → différence dite significative.
p ≥ 0,05 → l'écart est compatible avec le hasard → on ne rejette pas H₀ → différence non significative.
Cas Cistude : Berge nord (134 mm, n=21) vs Roselière est (101 mm, n=11), écart de 33 mm grand devant les écarts-types → p < 0,05 → structures de taille réellement différentes.
Trois contresens à éviter. (1) « non significatif » ≠ « pas de différence » (surtout sur petit effectif : le test manque de puissance). (2) La p-value n'est pas la probabilité que H₀ soit vraie. (3) « significatif » ne veut pas dire « important » : sur de très grands échantillons, un écart minuscule et sans intérêt biologique peut ressortir significatif. La taille de l'effet compte autant que la p-value.
Précision d'une estimation
Intervalle de confiance (IC)
L'IC à 95 % est la fourchette dans laquelle se trouve « raisonnablement » la vraie valeur (moyenne d'une population, proportion…), compte tenu de l'échantillon. Plus l'échantillon est grand et peu dispersé, plus l'IC est étroit.
IC₉₅ ≈ x̄ ± t · ( s / √n )
s = écart-type, n = effectif, t = coefficient lu dans la loi de Student (petits échantillons) ou approché par 1,96 pour la loi normale (grands échantillons). Le terme s/√n est l'erreur standard.
Cas Cistude : x̄ = 121 mm, s ≈ 30 mm, n = 37.
Erreur standard : 30 / √37 = 30 / 6,08 = 4,9 mm
Demi-largeur (t ≈ 2,03 pour n=37) : 2,03 × 4,9 ≈ 10 mm
IC₉₅ ≈ 121 ± 10 → [111 ; 131] mm
On rapporte « 121 mm (IC95 % : 111–131) ». Doubler n réduit l'IC d'un facteur √2 environ : la précision se paie en effort de terrain.
Loi normale ou loi de Student ? Grand échantillon (n ≳ 30) → l'approximation normale suffit (t ≈ 1,96). Petit échantillon → loi de Student, dont le coefficient t est plus grand (IC plus large) pour refléter l'incertitude supplémentaire.
Fonctions tableur
← Retour à la leçon 3 — Mettre une hypothèse à l'épreuve
Mémo des formules
| Besoin | Fonction (tableur FR) |
|---|---|
| Coefficient de corrélation r | =COEFFICIENT.CORRELATION(X;Y) |
| Pente de la droite | =PENTE(Y;X) |
| Ordonnée à l'origine | =ORDONNEE.ORIGINE(Y;X) |
| Coefficient R² | =COEFFICIENT.DETERMINATION(Y;X) |
| p-value comparaison de moyennes | =TEST.STUDENT(G1;G2;2;2) |
| Écart-type d'échantillon | =ECARTYPE.STANDARD(plage) |
Le 3ᵉ argument de TEST.STUDENT = nombre de côtés (2 = bilatéral) ; le 4ᵉ = type (2 = variances inégales, le choix prudent par défaut).