Bloc B7 — C7.1 › Leçon 7.1g
🔢 Leçon 7.1g · Module C7.1Quand les subventions ne suffisent pas à préfinancer un projet, la structure peut emprunter. Comparer des offres de crédit, calculer une annuité, construire un tableau d'amortissement, comprendre la différence entre taux proportionnel et taux équivalent — ce sont des outils mathématiques concrets que le technicien GPN doit maîtriser pour conseiller sa direction.
① Savoir
Le budget du projet est de 180 000 €. Les subventions sont accordées mais versées après réalisation des dépenses (12 à 18 mois après les travaux). Le CEN Bretagne doit engager les travaux de restauration des chenaux (48 000 €) et les études (13 200 €) avant de recevoir les remboursements. Ses réserves propres ne couvrent que 18 000 € — il manque 36 000 € à préfinancer. Deux options : un emprunt bancaire ou une avance remboursable d'une collectivité. Cette leçon donne les outils pour comparer ces options.
Les intérêts simples sont calculés uniquement sur le capital initial, pour toute la durée du placement ou du prêt. Ils s'appliquent aux placements court terme, aux avances de trésorerie, aux découverts bancaires.
Sur le Marais du Rohu : si le CEN Bretagne contracte une avance de trésorerie de 36 000 € à 3,5% annuel pour 12 mois → I = 36 000 × 0,035 × 1 = 1 260 € d'intérêts. Ce coût financier doit être intégré dans le budget du projet (ligne "frais financiers").
Dans le régime des intérêts composés (ou capitalisés), les intérêts de chaque période s'ajoutent au capital pour former la base de calcul de la période suivante. C'est le régime utilisé pour les emprunts bancaires, les placements à moyen/long terme, et la valeur actuelle des fonds propres.
Pourquoi les intérêts composés sont-ils supérieurs aux intérêts simples ? Pour C=36 000 €, t=4%, n=5 ans :
Simples : I = 36 000 × 0,04 × 5 = 7 200 €
Composés : C₅ = 36 000 × (1,04)⁵ = 36 000 × 1,2167 = 43 800 € → I = 7 800 €
L'écart s'accentue avec la durée et le taux — d'où l'importance du régime pour comparer des offres longues.
Quand un emprunt porte un taux annuel de 4,8%, quelle est la mensualité ? Cela dépend du régime utilisé :
| Régime | Formule | Taux mensuel pour 4,8%/an | Quand l'utiliser |
|---|---|---|---|
| Taux proportionnel | t_mens = t_ann ÷ 12 | 4,8% ÷ 12 = 0,4% | Intérêts simples (court terme, découverts) |
| Taux équivalent | t_mens = (1+t_ann)^(1/12) − 1 | (1,048)^(1/12)−1 = 0,3909% | Intérêts composés (emprunts bancaires) |
En pratique pour le BTS GPN : Les deux taux sont très proches pour des taux faibles (écart < 0,01% par mois à 4,8%). Pour les calculs d'emprunt immobilier ou long terme, utiliser le taux équivalent est plus rigoureux. Pour une estimation rapide dans un budget de projet, le taux proportionnel est acceptable et simplifie les calculs. Le référentiel précise que "les valeurs sont proches pour des taux faibles".
Pour un emprunt remboursé par mensualités (ou annuités) constantes, chaque paiement couvre une part d'intérêts (qui décroît) et une part de capital (qui croît). La mensualité totale reste constante.
Décomposition d'une mensualité :
| Mois | Capital restant dû | Intérêts | Capital amorti | Mensualité |
|---|
Le CEN Bretagne a reçu 3 propositions pour préfinancer les 36 000 € manquants. Voici la comparaison — le coût réel (intérêts totaux) est l'indicateur principal, pas le taux affiché.
⇒ Recommandation pour le Marais du Rohu
L'offre A (avance remboursable à 0%) est nettement préférable si le temps de mise en place (délibération) est compatible avec le calendrier. Si l'urgence est absolue, l'offre B est acceptable. L'offre C (découvert) est à éviter — son coût est 3× plus élevé que le prêt bancaire et présente des risques de dérapage.
L'avance remboursable est une forme de prêt sans intérêt ou à taux très réduit, versé par une collectivité, un établissement public ou parfois une fondation, pour permettre à une association de préfinancer un projet en attendant le versement des subventions. Elle est remboursée dès réception des fonds.
Mécanisme :
Avantage : Coût zéro (ou quasi-zéro). Souplesse du remboursement (in fine). Pas d'obligation de mensualités pendant la phase de travaux.
Contrainte : Nécessite une délibération de la collectivité (conseil municipal, conseil départemental...) — délai de 2 à 3 mois. La collectivité doit disposer des fonds disponibles sur son budget de fonctionnement ou d'investissement.
Sur le Marais du Rohu : La commune de Saint-Gildas-de-Rhuys ou la CC du Golfe du Morbihan pourraient voter une avance remboursable de 36 000 € au CEN Bretagne pour le préfinancement des travaux — à inscrire dans le budget de trésorerie comme entrée en mois M+3 (après délibération), puis sortie en mois M+18 (après remboursement des subventions).
Le référentiel mentionne les "taux d'évolutions moyens suite à plusieurs évolutions". Il s'agit de calculer le taux annuel moyen de progression d'une valeur sur n années.
Formule : Si un budget passe de V₀ à Vₙ en n années :
t_moyen = (Vₙ / V₀)^(1/n) − 1
Exemple : Le budget annuel du CEN Bretagne est passé de 850 000 € en 2020 à 1 120 000 € en 2025 (5 ans) :
t_moyen = (1 120 000 / 850 000)^(1/5) − 1 = (1,3176)^(0,2) − 1 = 1,0566 − 1 = 5,66%/an
Soit une progression annuelle moyenne de 5,66%.
Cette formule utilise la même structure que le calcul de capital composé — c'est une application directe de la suite géométrique au calcul financier.
② Savoir-être
Le technicien GPN n'est pas comptable ni financier — mais il doit être capable de construire une analyse chiffrée compréhensible et de la présenter à sa direction avec les bons arguments. Simplifier à l'excès (ne montrer que le taux, pas le coût total) conduit à de mauvaises décisions.
Tu présentes l'analyse des 3 offres de préfinancement à la trésorière du CEN Bretagne. Elle réagit : "L'offre A est à 0% mais la commune met 3 mois à délibérer. L'offre B coûte seulement 4,8%/an — c'est pas cher. Et l'offre C me paraît sécurisée car c'est notre banque habituelle. Je pense qu'on devrait prendre l'offre C pour ne pas perdre de temps."
③ Savoir-faire
Ces 3 éléments sont fournis par la banque ou la collectivité. Vérifier que le taux est bien précisé par période (mensuel ou annuel) et de quel régime il relève. Pour un emprunt à mensualités, convertir le taux annuel en taux mensuel : t_mens = (1 + t_ann)^(1/12) − 1 (taux équivalent) ou t_ann ÷ 12 (taux proportionnel, acceptable pour estimation).
Appliquer la formule a = C × t / (1 − (1+t)⁻ⁿ). Sur 36 000 € à 4,8%/an (t_mens ≈ 0,003909) sur 24 mois : a = 36 000 × 0,003909 / (1 − (1,003909)⁻²⁴) ≈ 1 574 €/mois. Cette mensualité est constante sur toute la durée — c'est le seul chiffre que la banque communique généralement.
Pour chaque mois k : (1) intérêts = capital restant dû × t_mens ; (2) capital amorti = mensualité − intérêts ; (3) nouveau capital restant dû = capital dû (k−1) − capital amorti. Vérifier : la somme des capitaux amortis doit égaler le capital initial ; la somme des intérêts est le coût total du crédit.
Le coût total des intérêts (ex : 1 800 € sur 24 mois) est une dépense réelle du projet — elle doit apparaître dans le budget prévisionnel à la ligne "frais financiers". Cette ligne est souvent éligible aux financeurs publics si elle est justifiée par la nécessité du préfinancement. Ne pas oublier de l'inscrire.
Le jury E7 n'attend pas un calcul d'amortissement de mémoire — mais il attend que le candidat sache lire un tableau d'amortissement, identifier le coût total d'un crédit, et comparer des offres de préfinancement. La formule de l'annuité constante peut être donnée en épreuve — c'est son application et son interprétation qui sont évaluées.
💡 Dans la fiche E7 : si le projet a nécessité un emprunt ou une avance remboursable, l'expliquer en indiquant le capital, le coût total en intérêts et la raison du choix entre les offres disponibles. C'est un indicateur de maîtrise des montages financiers valorisé par le jury.
④ Évaluation
bonnes réponses sur 5
Auto-évaluation — Maths financières
| Indicateur | Mon niveau |
|---|---|
| Je sais calculer des intérêts simples (I = C × t × n) et composés (Cn = C₀ × (1+t)ⁿ) et expliquer la différence | |
| Je sais calculer une mensualité d'emprunt et lire un tableau d'amortissement (intérêts / capital amorti / capital restant dû) | |
| Je sais comparer des offres de financement par leur coût total réel (pas uniquement leur taux affiché) |